La Elipse - Ruta de Aprendizaje

📐 Definición

Una elipse es el conjunto de todos los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Matemáticamente: d(P, F₁) + d(P, F₂) = 2a

🎨 Construye tu propia elipse

Imagina que colocas dos tachuelas (los focos) en una hoja y atas un hilo entre ellas. Al mantener el hilo tenso con un lápiz y moverlo alrededor, ¡dibujas una elipse!

🔢 Ecuaciones Estándar

Eje Mayor Horizontal

x²/a² + y²/b² = 1

Cuando el eje mayor está sobre el eje X

Eje Mayor Vertical

x²/b² + y²/a² = 1

Cuando el eje mayor está sobre el eje Y

📊 Elementos Clave

a = semieje mayor (distancia del centro al vértice)
b = semieje menor (distancia del centro al extremo menor)
c = distancia del centro a cada foco
Relación fundamental: c² = a² - b²
Excentricidad: e = c/a (mide el "aplanamiento", 0 ≤ e < 1)

🎮 Demo Interactiva

Explora cómo cambia la elipse

Semieje mayor (a): 5

Semieje menor (b): 3

Excentricidad (e): 0.80 Focos (c): 4.0

📚 Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Trazando una elipse

Problema: Trazar la elipse 2x² + 9y² = 18

Solución:

Dividimos entre 18: x²/9 + y²/2 = 1
Identificamos: a² = 9 → a = 3, b² = 2 → b = √2 ≈ 1.41
Calculamos focos: c = √(a² - b²) = √7 ≈ 2.65
Vértices: (±3, 0)
Focos: (±√7, 0)
Eje mayor: Horizontal

Ejemplo 2: Elipse con eje vertical

Problema: Trazar la elipse 9x² + 4y² = 25

Solución:

Dividimos entre 25: x²/(25/9) + y²/(25/4) = 1
Identificamos: a² = 25/4 → a = 2.5, b² = 25/9 → b ≈ 1.67
Calculamos: c = √(a² - b²) ≈ 1.86
Vértices: (0, ±2.5)
Focos: (0, ±1.86)
Eje mayor: Vertical

🌍 Aplicaciones en la Vida Cotidiana

🪐

Astronomía

Las órbitas planetarias son elípticas según la Primera Ley de Kepler. El Sol ocupa uno de los focos. La Tierra tiene e = 0.017 (casi circular), mientras que el cometa Halley tiene e = 0.967 (muy alargada).

🏛️

Arquitectura Acústica

Las "galerías susurrantes" usan techos elipsoidales. Un susurro en un foco se escucha claramente en el otro foco. Ejemplos: el Capitolio de EE.UU. y el Tabernáculo Mormón.

🏥

Medicina

Los litotriptores destruyen cálculos renales usando ondas de choque. El paciente se posiciona con la piedra en un foco, y las ondas generadas en el otro foco la desintegran sin cirugía.

🔭

Ingeniería Óptica

Los espejos elipsoidales concentran luz desde un foco hacia el otro. Se usan en lámparas, telescopios y antenas parabólicas para optimizar la captación de señales.

✨ La Elipse ✨